高中 · 经典拓展 · 祖暅原理
外形不同，体积能一样吗？
同半径同高度圆柱与横向层移柱。移动同一高度的切片，把直柱慢慢斜移。
等高切片：问题从哪里来？
中国数学中的祖暅原理与后来卡瓦列里的方法，都用截面理解体积。相似的思想在不同历史背景中发展，本页不把两人说成同一次发现。
读一段背景，带着问题动手
从观察到解释
把证据带回纸上
展开关系与推导
每层面积πr²不变，体积∫₀ʰA(z)dz=πr²h。只验证少数高度不是一般证明；本模型的每层相等由构造保证。
固定哪些量？改变哪个量？列出两组数值，写出关系，再说明一个不能套用的条件。实验支持猜想，一般证明需要理由。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
每一层都一样大，整体体积为什么不变？
换个条件，再试一次
只知道中间一层相等，能推出整体等体积吗？
看哪里？
拖动旋转检查空间关系；正面、俯视可核对投影，读数按原构造计算。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
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先修与两种探索深度
先认识祖暅原理涉及的量与单位：柱半径（m）、柱高（m）、顶部侧移（m）、切片高度（m）。高中 · 经典拓展为内容层次提示，未核对具体教材。
先看现象：移动同一高度的切片，把直柱慢慢斜移。
再做定量：保持其他条件，比较顶部侧移与两体体积（m³），再对照下方关系。
模型、来源与核验边界
每层面积πr²不变，体积∫₀ʰA(z)dz=πr²h。只验证少数高度不是一般证明；本模型的每层相等由构造保证。
对照核验提示：直柱：不做层移；斜柱：同样半径与高度。按这些题设自己操作并比较两体体积，不把参考情景当个人完成。
适用范围：祖暅原理：同高且每一对应高度截面积相等，体积才相等。仅一层截面相等不足以推断体积相等。
Britannica · Cavalieri’s principle（延伸阅读；链接和公式适用性尚需逐项外部复核） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。