初中几何 · 圆周角 · 分类讨论
顶点在走，角为什么不变？
固定一条弦，追踪一个角。
A和B留在圆上，P沿圆周移动。三角形不断变形，∠APB却可能保持不变。它到底依赖什么？
动过很多次以后，还需要证明吗？
《几何原本》第三卷系统讨论圆。命题20与21把圆心角、圆周角和同一弓形中的角联系起来，观察到的“不变”由条件和推理支撑。
读一段背景，带着问题动手
从“好像如此”到“为什么必然”
圆心在角内、边上或角外，怎样统一解释？
实验中的数值能帮你提出猜想。下面的论证解释适用条件内的一般关系。
展开一般论证
- 连接OA、OB、OP，得到等腰三角形OAP与OBP。半径相等，使每个三角形的两个底角相等。
- 先从圆心在圆周角一边的情形入手：利用等腰三角形底角与外角关系，得到同弧的圆心角是圆周角的两倍。圆心在角内时把两个角相加，在角外时作差。
- 统一结论：圆周角等于它所截、不含顶点P的弧所对圆心角的一半。P在不同侧弧时，截弧分别为α和360°−α，因此两角互补；α=180°时都为90°。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
同一条弦所对的圆周角，是否总相等？
换个条件，再试一次
把P移到弦的另一侧，原来“角不变”的结论会怎样？
看哪里？
二维拖动受约束的点并检查辅助线和读数；三维空间台同步同一平面构造，图形证明仍依据二维关系。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
尚未保存。启用交互后可以记录；请勿在这里填写个人身份信息。
先修与两种探索深度
先认识圆周角 · 分类讨论中的图形与量；长度使用统一单位u。O为圆心，半径4 u；A固定，∠AOB=α；P在圆上且不与A、B重合。
先看现象：拖动P，留意它在哪一段弧上。
再做定量：连接OA、OB、OP，得到等腰三角形OAP与OBP。半径相等，使每个三角形的两个底角相等。 先从圆心在圆周角一边的情形入手：利用等腰三角形底角与外角关系，得到同弧的圆心角是圆周角的两倍。圆心在角内时把两个角相加，在角外时作差。 统一结论：圆周角等于它所截、不含顶点P的弧所对圆心角的一半。P在不同侧弧时，截弧分别为α和360°−α，因此两角互补；α=180°时都为90°。
模型、来源与核验边界
连接OA、OB、OP，得到等腰三角形OAP与OBP。半径相等，使每个三角形的两个底角相等。 先从圆心在圆周角一边的情形入手：利用等腰三角形底角与外角关系，得到同弧的圆心角是圆周角的两倍。圆心在角内时把两个角相加，在角外时作差。 统一结论：圆周角等于它所截、不含顶点P的弧所对圆心角的一半。P在不同侧弧时，截弧分别为α和360°−α，因此两角互补；α=180°时都为90°。
解析核验提示：α=120°时，P在长弧AB上，圆周角为60°；P换到短弧AB上，圆周角为120°。两角互补；P与A或B重合时圆周角未定义。
适用范围：α表示较小中心角，范围30°到180°，不总是当前圆周角的两倍。P到达弦端点时，一条角边长度为零，不能继续测角。图形数值不能替代上述分情况的论证。
Euclid’s Elements · 第三卷命题20（圆心角与圆周角）（延伸阅读；本卡解析基准尚未获外部审阅） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。
同一装置，换个角度
空间观察台
上方二维实验负责接线、构造和测量；这里同步呈现当前几何。平面对象置于空间台面，厚度、球体大小及变形显示均为示意，不新增测量值。
三维按需打开；拖动旋转、滚轮缩放，也可用方向键。二维与测量始终可用。