初中直观 · 高中论证拓展 · 三角函数 · 余弦定理
两根杆一样长，第三边为什么会变？
两边a、b与夹角C给定，0<C<180°，长度单位归一化。打开两杆铰链，测量两端间距。
问题的来处欧几里得《几何原本》 · 勾股关系的推广
余弦定理：问题从哪里来？
《几何原本》第二卷讨论锐角、钝角三角形边长平方之间的关系。后来三角函数记号把这些几何关系写成今天熟悉的余弦定理。
读一段背景，带着问题动手
从观察到解释
把证据带回纸上
展开关系与推导
c²=a²+b²−2ab cosC；C=90°时退化为勾股定理。
固定哪些量？改变哪个量？列出两组数值，写出关系，再说明一个不能套用的条件。实验支持猜想，一般证明需要理由。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
什么时候第三边平方等于两边平方和？
换个条件，再试一次
夹角变为钝角，第三边平方更大还是更小？
看哪里？
本题是平面数学构造。三维将同一构造放入空间，便于换角度看；证明仍依据二维关系。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
尚未保存。启用交互后可以记录；请勿在这里填写个人身份信息。
先修与两种探索深度
先认识三角函数 · 余弦定理涉及的量与单位：两杆夹角（°）、第一杆长（无量纲）、第二杆长（无量纲）。初中直观 · 高中论证拓展为内容层次提示，未核对具体教材。
先看现象：打开两杆铰链，测量两端间距。
再做定量：保持其他条件，比较两杆夹角与第三边长度（无量纲），再对照下方关系。
模型、来源与核验边界
c²=a²+b²−2ab cosC；C=90°时退化为勾股定理。
对照核验提示：锐角：两杆夹角 60 °；直角：只改变两杆夹角 90 °。按这些题设自己操作并比较第三边长度，不把参考情景当个人完成。
适用范围：第三边2.6458；余弦修正项-6.0000。
Wolfram MathWorld · 相关词条（延伸阅读；链接和公式适用性尚需逐项外部复核） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。