经典数学拓展 · 欧拉示性数
顶点、棱、面为什么差出2？
凸棱柱与周期环面四边网格，分别计数。数顶点、棱和面，再给表面开一个洞。
多面体侦探：问题从哪里来？
欧拉把多面体的局部计数联系成整体关系。后来拓扑学解释：关系不仅与具体形状有关，也与表面的孔洞结构有关。
读一段背景，带着问题动手
从观察到解释
把证据带回纸上
展开关系与推导
n棱柱V=2n,E=3n,F=n+2，差为2。n×n环面周期网格V=n²,E=2n²,F=n²，差为0；拓扑条件不可省略。
固定哪些量？改变哪个量？列出两组数值，写出关系，再说明一个不能套用的条件。实验支持猜想，一般证明需要理由。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
V−E+F为什么从2变成0？
换个条件，再试一次
有一个洞的表面，还能机械套用差为2吗？
看哪里？
拖动旋转检查空间关系；正面、俯视可核对投影，读数按原构造计算。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
尚未保存。启用交互后可以记录；请勿在这里填写个人身份信息。
先修与两种探索深度
先认识欧拉示性数涉及的量与单位：表面类型（无量纲）、边数/周期划分（无量纲）。经典数学拓展为内容层次提示，未核对具体教材。
先看现象：数顶点、棱和面，再给表面开一个洞。
再做定量：保持其他条件，比较表面类型与V−E+F（无量纲），再对照下方关系。
模型、来源与核验边界
n棱柱V=2n,E=3n,F=n+2，差为2。n×n环面周期网格V=n²,E=2n²,F=n²，差为0；拓扑条件不可省略。
对照核验提示：没有洞：闭合凸六棱柱；有一个洞：周期网格环面。按这些题设自己操作并比较V−E+F，不把参考情景当个人完成。
适用范围：凸多面体欧拉示性数为2；环面为0。环面网格按周期识别顶点与棱，面是四边形曲面片，不把洞口当实体面。
MacTutor · Euler（延伸阅读；链接和公式适用性尚需逐项外部复核） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。