初中直观 · 高中论证拓展 · 解析几何 · 双曲线
到两点的距离差固定，会留下什么轨迹？
a=1，焦点±c，c>a；P=(a cosh u,b sinh u)，b=√(c²−a²)，显示右支。沿双曲线移动P，分别量到两个焦点的距离。
双曲线双焦点：问题从哪里来？
阿波罗尼奥斯的圆锥曲线传统把椭圆、抛物线与双曲线放在一起研究。距离差固定的轨迹后来也出现在双曲定位与到达时间差测量中。
读一段背景，带着问题动手
从观察到解释
把证据带回纸上
展开关系与推导
|PF₁−PF₂|=2a；x²/a²−y²/b²=1。
固定哪些量？改变哪个量？列出两组数值，写出关系，再说明一个不能套用的条件。实验支持猜想，一般证明需要理由。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
距离在变，距离差为什么不变？
换个条件，再试一次
改变焦点间距，距离差还能保持2a吗？
看哪里？
本题是平面数学构造。三维将同一构造放入空间，便于换角度看；证明仍依据二维关系。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
尚未保存。启用交互后可以记录；请勿在这里填写个人身份信息。
先修与两种探索深度
先认识解析几何 · 双曲线涉及的量与单位：曲线参数u（无量纲）、半焦距c（无量纲）。初中直观 · 高中论证拓展为内容层次提示，未核对具体教材。
先看现象：沿双曲线移动P，分别量到两个焦点的距离。
再做定量：保持其他条件，比较曲线参数u与两焦距绝对差（无量纲），再对照下方关系。
模型、来源与核验边界
|PF₁−PF₂|=2a；x²/a²−y²/b²=1。
对照核验提示：下半支：曲线参数u -0.8 ；上半支：只改变曲线参数u 0.8 。按这些题设自己操作并比较两焦距绝对差，不把参考情景当个人完成。
适用范围：两焦距绝对差固定2；双曲线两支在定义中的距离差符号相反。
Wolfram MathWorld · 相关词条（延伸阅读；链接和公式适用性尚需逐项外部复核） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。