初中几何 · 轴对称 · 最短路径
先到墙边，怎样走最短？
把折线，拉成直线。
A到B，途中必须碰一下直线l。接触点P选在哪里？先靠自己的判断，再借一面“数学镜子”。
把折线拉直，是一种解题方法。
与海伦联系在一起的反射路径问题，把“两段路怎样最短”转成“一条直线怎样连接”。辅助线不是多画一笔，而是把难比较的量换成容易比较的量。
读一段背景，带着问题动手
从“好像如此”到“为什么必然”
为什么辅助线要画到镜子另一边？
实验中的数值能帮你提出猜想。下面的论证解释适用条件内的一般关系。
展开一般论证
- 作B关于直线l的对称点B′。因为P在对称轴上，所以PB = PB′；于是原路程PA + PB变成PA + PB′。
- 由三角不等式，PA + PB′ ≥ AB′；只有A、P、B′共线且P在两点之间时取等号。A、B在l同侧，保证线段AB′穿过l。
- 如果P只能在线段内活动，先检查交点是否在允许区间。交点在外时，距离和沿区间向交点方向减小，最小值出现在靠近交点的端点。不能直接把直线上的答案搬到线段上。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
找出PA + PB的最小值，并说明为什么。
换个条件，再试一次
如果只允许P在线段[−5,−2]内活动，原来P=−1的答案还能用吗？
看哪里？
二维拖动受约束的点并检查辅助线和读数；三维空间台同步同一平面构造，图形证明仍依据二维关系。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
尚未保存。启用交互后可以记录；请勿在这里填写个人身份信息。
先修与两种探索深度
先认识轴对称 · 最短路径中的图形与量；长度使用统一单位u。A、B在直线l同侧；P在l上。距离使用统一的长度单位u。
先看现象：拖动绿色的P，或用滑块寻找更短的路线。
再做定量：作B关于直线l的对称点B′。因为P在对称轴上，所以PB = PB′；于是原路程PA + PB变成PA + PB′。 由三角不等式，PA + PB′ ≥ AB′；只有A、P、B′共线且P在两点之间时取等号。A、B在l同侧，保证线段AB′穿过l。 如果P只能在线段内活动，先检查交点是否在允许区间。交点在外时，距离和沿区间向交点方向减小，最小值出现在靠近交点的端点。不能直接把直线上的答案搬到线段上。
模型、来源与核验边界
作B关于直线l的对称点B′。因为P在对称轴上，所以PB = PB′；于是原路程PA + PB变成PA + PB′。 由三角不等式，PA + PB′ ≥ AB′；只有A、P、B′共线且P在两点之间时取等号。A、B在l同侧，保证线段AB′穿过l。 如果P只能在线段内活动，先检查交点是否在允许区间。交点在外时，距离和沿区间向交点方向减小，最小值出现在靠近交点的端点。不能直接把直线上的答案搬到线段上。
解析核验提示：A(−4,3)、B(4,5)时，直线上最短点是P(−1,0)，最短路程√128≈11.314 u。若P限制在[−5,−2]，最短点改为右端点−2。
适用范围：只研究平面欧氏距离，不模拟墙体厚度、障碍物或旅行速度。A、B保持在l同侧，坐标控制没有放开到另一侧。辅助线是证明工具，显示它不等于自动完成个人寻找。
圣安德鲁斯大学 MacTutor · Heron of Alexandria（延伸阅读；本卡解析基准尚未获外部审阅） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。
同一装置，换个角度
空间观察台
上方二维实验负责接线、构造和测量；这里同步呈现当前几何。平面对象置于空间台面，厚度、球体大小及变形显示均为示意，不新增测量值。
三维按需打开；拖动旋转、滚轮缩放，也可用方向键。二维与测量始终可用。