高中 · 导数与极限
割线缩小，会留下什么？
比较x²与|x|，Δx可从两侧接近0。让割线两点靠近，再从另一侧靠近。
切线显微镜：问题从哪里来？
微积分把瞬时变化与极限联系起来。缩小割线是观察途径，导数是否存在还需要检验两侧趋向同一结果。
读一段背景，带着问题动手
从观察到解释
把证据带回纸上
展开关系与推导
x²差商=[(x+h)²−x²]/h=2x+h，h→0得2x。|x|在0处两侧分别为±1，因此不可导；h=0不直接计算0/0。
固定哪些量？改变哪个量？列出两组数值，写出关系，再说明一个不能套用的条件。实验支持猜想，一般证明需要理由。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
左右斜率会走向同一个值吗？
换个条件，再试一次
画面看起来尖，如何用左右差商说明不可导？
看哪里？
本题是平面数学构造。三维将同一构造放入空间，便于换角度看；证明仍依据二维关系。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
尚未保存。启用交互后可以记录；请勿在这里填写个人身份信息。
先修与两种探索深度
先认识导数与极限涉及的量与单位：函数（无量纲）、观察点x（无量纲）、割线横向间隔Δx（无量纲）。高中为内容层次提示，未核对具体教材。
先看现象：让割线两点靠近，再从另一侧靠近。
再做定量：保持其他条件，比较割线横向间隔Δx与割线斜率（无量纲），再对照下方关系。
模型、来源与核验边界
x²差商=[(x+h)²−x²]/h=2x+h，h→0得2x。|x|在0处两侧分别为±1，因此不可导；h=0不直接计算0/0。
对照核验提示：光滑曲线：x²在0处，右侧趋近；尖点左侧：|x|在0处，左侧趋近。按这些题设自己操作并比较割线斜率，不把参考情景当个人完成。
适用范围：Δx=0时差商未定义。|x|在0处左右斜率分别为−1和1，无唯一切线斜率；放大画面不能替代极限论证。
OpenStax · Calculus 1（延伸阅读；链接和公式适用性尚需逐项外部复核） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。