高中几何 · 椭圆定义 · 数形结合
一根绳，怎样画出椭圆？
两段距离，分享一个总长度。
把绳的两端固定在两个焦点，笔尖把绳拉紧。笔可以走很远，两段绳加起来却不能变长。
从切圆锥，到用两段绳定义曲线。
阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》系统研究椭圆、抛物线和双曲线。今天的双钉拉线装置，用一个恒定的距离和，让椭圆定义变成手上的动作。
读一段背景，带着问题动手
从“好像如此”到“为什么必然”
从拉线的定义，走到标准方程
实验中的数值能帮你提出猜想。下面的论证解释适用条件内的一般关系。
展开一般论证
- 设P(x,y)，两焦点为(−c,0)、(c,0)。距离定义给出√((x+c)²+y²)+√((x−c)²+y²)=2a。
- 由两距离平方之差为4cx，以及距离和为2a，得到两距离分别为a+cx/a与a−cx/a。代入距离公式并整理，得x²/a²+y²/(a²−c²)=1。
- 令b²=a²−c²。当a>c时b>0，得到椭圆；c=0时两个焦点重合，变为半径a的圆。a=c时距离和等于焦点间距，只有焦点间线段；a<c违反三角不等式，不存在轨迹。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
PF₁+PF₂为什么恒定？焦点靠近时，椭圆会变成什么？
换个条件，再试一次
保持绳长不变，把两个焦点拉得比绳长还远，会出现更扁的椭圆吗？
看哪里？
二维拖动受约束的点并检查辅助线和读数；三维空间台同步同一平面构造，图形证明仍依据二维关系。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
尚未保存。启用交互后可以记录；请勿在这里填写个人身份信息。
先修与两种探索深度
先认识椭圆定义 · 数形结合中的图形与量；长度使用统一单位u。F₁(−c,0)、F₂(c,0)，有效两段绳长为2a；非退化椭圆要求a>c≥0。
先看现象：拖动笔尖P，或用位置滑块沿曲线移动。
再做定量：设P(x,y)，两焦点为(−c,0)、(c,0)。距离定义给出√((x+c)²+y²)+√((x−c)²+y²)=2a。 由两距离平方之差为4cx，以及距离和为2a，得到两距离分别为a+cx/a与a−cx/a。代入距离公式并整理，得x²/a²+y²/(a²−c²)=1。 令b²=a²−c²。当a>c时b>0，得到椭圆；c=0时两个焦点重合，变为半径a的圆。a=c时距离和等于焦点间距，只有焦点间线段；a<c违反三角不等式，不存在轨迹。
模型、来源与核验边界
设P(x,y)，两焦点为(−c,0)、(c,0)。距离定义给出√((x+c)²+y²)+√((x−c)²+y²)=2a。 由两距离平方之差为4cx，以及距离和为2a，得到两距离分别为a+cx/a与a−cx/a。代入距离公式并整理，得x²/a²+y²/(a²−c²)=1。 令b²=a²−c²。当a>c时b>0，得到椭圆；c=0时两个焦点重合，变为半径a的圆。a=c时距离和等于焦点间距，只有焦点间线段；a<c违反三角不等式，不存在轨迹。
解析核验提示：a=5、c=3时，b=4，方程x²/25+y²/16=1，任意曲线上点到两焦点距离和为10 u。c=0时是圆；c=a退化；c>a不能拉出椭圆。
适用范围：长度指笔尖到两固定点的两段有效绳长，不含绕钉的额外固定段；忽略伸长与摩擦。θ是参数角，不是从某个焦点测得的极角。橙色点是你实际到过的位置，虚线整椭圆是解析参考，不是操作历史。
圣安德鲁斯大学 MacTutor · Apollonius of Perga（延伸阅读；本卡解析基准尚未获外部审阅） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。
同一装置，换个角度
空间观察台
上方二维实验负责接线、构造和测量；这里同步呈现当前几何。平面对象置于空间台面，厚度、球体大小及变形显示均为示意，不新增测量值。
三维按需打开；拖动旋转、滚轮缩放，也可用方向键。二维与测量始终可用。