高中 · 空间向量与线面垂直
看上去垂直，真的垂直吗？
平面z=0，由x、y两个独立方向张成。调整向量，让它同时垂直平面内两条方向。
问题的来处19世纪 · 向量语言
空间垂线：问题从哪里来？
向量把空间中的方向与长度转为坐标关系。透视图有助于想象，点积则让“垂直”摆脱观察角度的影响。
读一段背景，带着问题动手
从观察到解释
把证据带回纸上
展开关系与推导
向量垂直平面等价于与平面内两个独立方向均正交。只与其中一条直线垂直不足；零向量没有方向。
固定哪些量？改变哪个量？列出两组数值，写出关系，再说明一个不能套用的条件。实验支持猜想，一般证明需要理由。
先预测，再用证据解释
把这次发现，留给下次的自己
两个点积都为0时，再旋转视角核对。
换个条件，再试一次
零向量点积都为0，它能代表一条垂线吗？
看哪里？
拖动旋转检查空间关系；正面、俯视可核对投影，读数按原构造计算。
仅此浏览器保存最近两组，第三组替换最早一组。条件、预测和解释一起保存；文字不自动判分。与原实验的临时记录分别保存。
尚未保存。启用交互后可以记录；请勿在这里填写个人身份信息。
先修与两种探索深度
先认识空间向量与线面垂直涉及的量与单位：方向x（无量纲）、方向y（无量纲）、方向z（无量纲）。高中为内容层次提示，未核对具体教材。
先看现象：调整向量，让它同时垂直平面内两条方向。
再做定量：保持其他条件，比较方向y与与平面第二方向点积（无量纲），再对照下方关系。
模型、来源与核验边界
向量垂直平面等价于与平面内两个独立方向均正交。只与其中一条直线垂直不足；零向量没有方向。
对照核验提示：只过一关：只垂直其中一条；同时垂直：非零法向量。按这些题设自己操作并比较与平面第二方向点积，不把参考情景当个人完成。
适用范围：对平面内两条相交直线均垂直才可判线面垂直；零向量不定义方向。透视图中的直角不是证明。
OpenStax · Calculus 3（延伸阅读；链接和公式适用性尚需逐项外部复核） ↗
本页为模型探索，未认证具体教材章节；真实学生和教师反馈尚待推广后收集。